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(物理)MathJaxとかいうのを試してみる

ブログでTexが直接打てるような時代が来たっぽいので僕も一つ試してみようかと。MathJaxって代物なんですが、ヘッダーに数行書き加えるだけで、あとは普通のtexの要領で書けばどのブラウザでもtexのかっこいいフォントが表示できるというとてつもなく便利なものです、

十字状のレール上を動く二つの質点について運動を考えてみたら面白かったので、出題してみたいと思います。

[問題]

下図のようにx軸とy軸上にそれぞれ質量がmの質点があり、これらの質点はそれぞれの軸上をなめらかに移動できる。例えば、x軸上の質点が原点でy軸上に移動するというようなことはできない。更に、これらの質点に質量が無視できて長さがLの剛体棒を滑らかにピン結合する。

最初、それぞれの質点は(x,y)=(L/√2,0)、(0,L/√2)に位置していた。t=0で、x軸上の質点に対して原点方向に大きさvの初速度を与えた。(これに応じてもう一方の質点と剛体棒にも初速度が発生する。)

[問1] このときの二つの質点の位置を時刻tの関数として表せ。
[問2] 剛体棒に働く軸力を時刻tの関数として表せ。

[解答は続きを読むをクリック]

zu.png
[解答]
それぞれの質点の位置をx(t)、y(t)とする。剛体棒の軸力をT(引張を正)とすると、運動方程式は
\begin{align}
m\ddot x = -\frac{T}{L} x \\
m\ddot y = -\frac{T}{L} y
\end{align}
束縛条件としてピン結合の条件より、
\begin{align}
x^2+y^2=L^2
\end{align}

まず運動方程式を連立してTを消去すると、
\begin{align}
\frac{\ddot x}{x} = \frac{\ddot y}{y}
\end{align}
これを式(1)とする。

また束縛条件より、xとyをθ(t)を用いて以下のようにパラメータ表示とする。
\begin{align}
x=L\cos{\theta} \\
y =L\sin{\theta}
\end{align}
これを式(2)とする。

したがって、それぞれの加速度は
\begin{align}
\ddot x=-L\dot \theta^2\cos{\theta} -L\ddot \theta\sin{\theta} \\
\ddot y=-L\dot \theta^2\sin{\theta} +L\ddot \theta\cos{\theta}
\end{align}
これを式(3)とする。

したがって、(2)と(3)を(1)に代入すると
\begin{align}
&\frac{-L\dot \theta^2\cos{\theta} -L\ddot \theta\sin{\theta}}{L\cos{\theta}}
=\frac{-L\dot \theta^2\sin{\theta} +L\ddot \theta\cos{\theta}}{L\sin{\theta}} \\
&\ddot \theta = 0 \\
&\theta = \omega t + \phi
\end{align}
を得る。ただし、ωとΦは積分定数。

したがって、
\begin{align}
x=L\cos(\omega t + \phi) \\
y =L\sin(\omega t + \phi)
\end{align}
であり、初期位置の条件から
\begin{align}
L/\sqrt{2}&=L\cos{\phi} \\
L/\sqrt{2} &=L\sin{\phi} \\
\phi &= \pi/4
\end{align}
また、初速度の条件から
\begin{align}
\dot x&=-L\omega \sin(\omega t + \pi /4) \\
-v &= -L\omega \sin(\pi /4) \\
\omega &= \sqrt{2}v/L
\end{align}

以上より、
\begin{align}
x=L\cos\left (\frac{\sqrt{2}v}{L}t + \frac{\pi}{4} \right ) \\
y =L\sin\left (\frac{\sqrt{2}v}{L}t + \frac{\pi}{4} \right )
\end{align}

また、軸力については運動方程式にこの結果を代入して、
\begin{align}
T=-mL\frac{\ddot x}{x}=mL\frac{2v^2}{L^2}=\frac{2mv^2}{L} (Const.)
\end{align}
となり常に一定の引張力が発生することが分かる。

physic_problem140816.gif

アニメーション化するとこうなります。軸上にあるのが質点で、その他の点は剛体棒の25%、50%、75%長の点をプロットしたものです。参考までに、半径Lの等速円運動の点もプロットしてあります。

運動は質点の質量には依らないんですね。そして質点はそれぞれ単振動をして、それぞれの座標を二次元プロットすると等速円運動になります。また軸力は時間変化しません。自分で問題作っておいてなんですけど意外で面白かったです。おそらく、二つの質点の質量が違うととたんにグロイ問題になると思います。興味ある人は解いてみてください。
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