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自作問題2の解答

aajoukaitou.png
【間違いがあった場合は、ご指摘ください。】

二項間漸化式で、a[n+1]=P(a[n])なる関数P(x)が表現出来る場合は、
グラフy=P(x)とy=xを用いることで、視覚的に数列{a[n]}の動きが表現出来る。
本問の場合は、P(x)=a^(x/a)ということになる。
以下に、y=P(x)を赤曲線、y=xを緑直線で各aについての例を示す。

if2staircase.png
上がa=2の場合である。(ルート2のルート2のルート2乗乗…と続くもの。)
このように、1<a<eの場合は交点y=aに向かって、階段上にa[n]が増加して収束していく。

if0-50staircase.png
上がa=0.5の場合である。
このように、1/e<a<1の場合は、今度は螺旋状に回りながら収束していく。


さて、普通であれば、平均値の定理を関数P(x)に用いて、a[n]-aの大きさが小さくなることを示す。
P'(c[n])がの絶対値が1未満であることが示せれば解答のように用いることで、題意は直ぐに示せるはずである。
1<a<eでは、確かにこれを用いてごく簡潔に証明できる。(この場合、|a[n+1]-a|<(loga)|a[n]-a|と挟める。)
しかし、1/e<a<1の場合は何故か上手くいかない。

if0-37staircase.png
ここで、上のa=0.37を見ていただきたい。(0.37>1/e=0.367…)
この場合も無事収束することは分かるが、何か様子が違う。
詳しく見よう。
a[1]=1,a[2]≒0.1,a[3]≒0.8 …
ここで、a[n]とaとの距離、|a[n]-a|を考えると、
|a[1]-a|≒0.6,|a[2]-a|≒0.3,≒|a[3]-a|≒0.4 …
賢明な読者なら何が言いたいか分かるだろう。
1/e<a<1のときは、|a[n]-a|が単調減少しないようなaの範囲が存在する。
当然のことながら、P'(c[n])の絶対値がnによって1より大きかったりする。

たしかに、収束するんだけれども、aに一歩近づいて、一歩近づいて…という具合ではなく、
aに一歩近づいて、半歩遠ざかって、一歩近づいて…という具合になっている。
だから、これでは示せない。

ここで、n=奇数のときは近づいて、n=偶数のときは遠ざかって「そう」だが、(要証明)
nとn+1のときを纏めて考えれば近づきそうだな、という発想が浮かぶ。
(付け加えておくと、私はパソコンにこのグラフを描かせてやっと、これらのことに
気づいたわけで、紙と鉛筆しか持っていない人が気づいたとしたらすごいと思う。)

そこで、本解答ではP(x)を一度に二回使う合成関数f(x)=P(P(x))を用いたわけである。
このようにすれば、nが偶数の場合、nが奇数の場合を分けて考えることが出来る。
なお、1<a<eのときは前述のようにP(x)で事足りるが、分けて書くのも面倒だったので、
f(x)一つだけ使って、同時に示してみた。


さて、これで問題は解決したわけですが、
a=eとa=1/eの場合が個人的には気になります。

ifestaircase.png
上がa=eの場合。実は、y=P(x)とy=xはa=eのときに接する。
見た感じでは収束しそうな気がする。

if1dividedbyestaircase.png
上がa=1/eの場合。一見収束してなさそうだが、これはa[1]~a[1000]までの状況しか書いてないから。
nをもっと大きくしていけば、交点である1/eに近づきそうに思える。

ここで、なぜ安易に収束すると言わないのかというと、
f'(c[n])を1より小さい定数で挟むのが(私には)難しいからです。
f'(c[n])自体は確かに1より小さいようなのですが、f'(c[n])はnによる変数です。
これでは、0に収束することは言えません。

0より大きい変数を無限個足し合わせても、無限に発散しない場合があるのと同じです。
たとえば、1/k (k=1,2,3,…)は全て正です。これをkについて全て足し合わせると、
Σ1/k=∞ となり発散します。
しかし、1/k2(k=1,2,3,…)は全て正ですが、これをkについて全て足し合わせると、
Σ1/k2=π^2/6 となって収束します。発散しません。

つまり、f'(c[n])<1だけでは不十分で、
f'(c[n])≦K<1なる定数Kを見つけるか、
巧みな技を用いて、直接f'(c[n])をnについて掛け合わせた積が
0に収束することを言わないといけないわけです。

果たして収束するのか?
管理人は力量不足なので、この究極の状態は諦めます。
できたら、誰か教えてくれw (いや、教えてくれても分からないかもしれん。)



omosiroi.gif
最後に、y=x(緑),y=P(x)(赤),y=a(青)の場合について、aを0.1~5まで動かした様子を示す。
さきほど、1/e<a<eの場合は交点であるy=aに収束することを説明したが、
上を見て貰えれば分かるように、a>e(2.7…)以降、赤のグラフはだらりと下がっていく。
このとき、y=aでの交点は依然として存在するが、それよりもy座標の小さい交点が生まれる。
つまり、a>eのときは、aではなく、1以上e以下のある定数に収束してしまう。
ちなみに、0<a<1/eのときは、0と1の間で振動するようである。(要証明)


なお、そろそろ受験間近になってきたので、
問題作り・解説は自粛する。記事もより更新しなくなるだろう。
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