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自作問題2の解答

aajoukaitou.png
【間違いがあった場合は、ご指摘ください。】

二項間漸化式で、a[n+1]=P(a[n])なる関数P(x)が表現出来る場合は、
グラフy=P(x)とy=xを用いることで、視覚的に数列{a[n]}の動きが表現出来る。
本問の場合は、P(x)=a^(x/a)ということになる。
以下に、y=P(x)を赤曲線、y=xを緑直線で各aについての例を示す。

if2staircase.png
上がa=2の場合である。(ルート2のルート2のルート2乗乗…と続くもの。)
このように、1<a<eの場合は交点y=aに向かって、階段上にa[n]が増加して収束していく。

if0-50staircase.png
上がa=0.5の場合である。
このように、1/e<a<1の場合は、今度は螺旋状に回りながら収束していく。


さて、普通であれば、平均値の定理を関数P(x)に用いて、a[n]-aの大きさが小さくなることを示す。
P'(c[n])がの絶対値が1未満であることが示せれば解答のように用いることで、題意は直ぐに示せるはずである。
1<a<eでは、確かにこれを用いてごく簡潔に証明できる。(この場合、|a[n+1]-a|<(loga)|a[n]-a|と挟める。)
しかし、1/e<a<1の場合は何故か上手くいかない。

if0-37staircase.png
ここで、上のa=0.37を見ていただきたい。(0.37>1/e=0.367…)
この場合も無事収束することは分かるが、何か様子が違う。
詳しく見よう。
a[1]=1,a[2]≒0.1,a[3]≒0.8 …
ここで、a[n]とaとの距離、|a[n]-a|を考えると、
|a[1]-a|≒0.6,|a[2]-a|≒0.3,≒|a[3]-a|≒0.4 …
賢明な読者なら何が言いたいか分かるだろう。
1/e<a<1のときは、|a[n]-a|が単調減少しないようなaの範囲が存在する。
当然のことながら、P'(c[n])の絶対値がnによって1より大きかったりする。

たしかに、収束するんだけれども、aに一歩近づいて、一歩近づいて…という具合ではなく、
aに一歩近づいて、半歩遠ざかって、一歩近づいて…という具合になっている。
だから、これでは示せない。

ここで、n=奇数のときは近づいて、n=偶数のときは遠ざかって「そう」だが、(要証明)
nとn+1のときを纏めて考えれば近づきそうだな、という発想が浮かぶ。
(付け加えておくと、私はパソコンにこのグラフを描かせてやっと、これらのことに
気づいたわけで、紙と鉛筆しか持っていない人が気づいたとしたらすごいと思う。)

そこで、本解答ではP(x)を一度に二回使う合成関数f(x)=P(P(x))を用いたわけである。
このようにすれば、nが偶数の場合、nが奇数の場合を分けて考えることが出来る。
なお、1<a<eのときは前述のようにP(x)で事足りるが、分けて書くのも面倒だったので、
f(x)一つだけ使って、同時に示してみた。


さて、これで問題は解決したわけですが、
a=eとa=1/eの場合が個人的には気になります。

ifestaircase.png
上がa=eの場合。実は、y=P(x)とy=xはa=eのときに接する。
見た感じでは収束しそうな気がする。

if1dividedbyestaircase.png
上がa=1/eの場合。一見収束してなさそうだが、これはa[1]~a[1000]までの状況しか書いてないから。
nをもっと大きくしていけば、交点である1/eに近づきそうに思える。

ここで、なぜ安易に収束すると言わないのかというと、
f'(c[n])を1より小さい定数で挟むのが(私には)難しいからです。
f'(c[n])自体は確かに1より小さいようなのですが、f'(c[n])はnによる変数です。
これでは、0に収束することは言えません。

0より大きい変数を無限個足し合わせても、無限に発散しない場合があるのと同じです。
たとえば、1/k (k=1,2,3,…)は全て正です。これをkについて全て足し合わせると、
Σ1/k=∞ となり発散します。
しかし、1/k2(k=1,2,3,…)は全て正ですが、これをkについて全て足し合わせると、
Σ1/k2=π^2/6 となって収束します。発散しません。

つまり、f'(c[n])<1だけでは不十分で、
f'(c[n])≦K<1なる定数Kを見つけるか、
巧みな技を用いて、直接f'(c[n])をnについて掛け合わせた積が
0に収束することを言わないといけないわけです。

果たして収束するのか?
管理人は力量不足なので、この究極の状態は諦めます。
できたら、誰か教えてくれw (いや、教えてくれても分からないかもしれん。)



omosiroi.gif
最後に、y=x(緑),y=P(x)(赤),y=a(青)の場合について、aを0.1~5まで動かした様子を示す。
さきほど、1/e<a<eの場合は交点であるy=aに収束することを説明したが、
上を見て貰えれば分かるように、a>e(2.7…)以降、赤のグラフはだらりと下がっていく。
このとき、y=aでの交点は依然として存在するが、それよりもy座標の小さい交点が生まれる。
つまり、a>eのときは、aではなく、1以上e以下のある定数に収束してしまう。
ちなみに、0<a<1/eのときは、0と1の間で振動するようである。(要証明)


なお、そろそろ受験間近になってきたので、
問題作り・解説は自粛する。記事もより更新しなくなるだろう。
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自作問題2 と…

fufufu.jpg

昨日作った問題を、友人I氏に見せたところ、彼の指摘によって計算ミスが発覚。
式が成立するaの範囲を大幅に誤っていたので、記事を改めて出題し直しました


aのa乗根が、肩にず~っと連なっていったものが、aに等しいということです。

例えばa=2の場合だと、
ルート2、ルート2のルート2乗、ルート2のルート2のルート2乗乗、
ルート2のルート2のルート2のルート2乗乗乗、…と続いた先が2に収束することを示してほしいということです。


あと、a=1/eとa=eでも成り立ちそうな気がするんだけど、どうなんだろ。

解答

続きを読む

自作問題2(不備)

【aの範囲に不備があったため、訂正します。すみません。12/22】
もう少し範囲が広げられそうなので、訂正中。


なかなか短い問題でしょう。フフフフフ
例の京大の問題(tan1°は有理数か。)には劣るが。

aのa乗根が、肩にず~っと連なっていったものが、aに等しいということです。

例えばa=2の場合だと、
ルート2、ルート2のルート2乗、ルート2のルート2のルート2乗乗、
ルート2のルート2のルート2のルート2乗乗乗、…と続いた先が2に収束することを示してほしいということです。

瞬殺だと…!?

あの問題に対して、塾メイトのK氏が簡潔な解答をメールで伝えてきました。
その意図を出来るだけ損なわぬよう、解答を作りました。
youininattano.jpg
(長々と記述するのが面倒なので、若干定性的な部分を含んでいます。)

koyukoto.jpg
補足すると、解答で見せた立体を8個使って、組み立て直すと、
上のように一辺2の立方体と、その辺に内接した半径√2の球が出来ます。
求める体積とは、この立方体に含まれて、球には含まれないものだったわけです。

ちなみに、この解答は、半径が√2より大きくなると使えません。
なぜなら、はみ出た立体同士が更に互いに共有部分を持ってしまうからです。

…あの壮絶な積分計算は一体何だったんだwww


いやぁ、にしても、スヴァラシイ解答だなぁ。
俺には、立体の把握が十分に出来なかったから、この発想は出来なかったw

東大オープン、東工大オープン、東大実戦の成績

東大オープン
英70/120 数69/120 国43/80 物33/60 化19/60 計234/440
理一A 離散D(最低)

東工大オープン
英121/150 数133/250 物130/150 化72/150 計456/700
第4類A 第1類A

東大実戦
英64/120 数52/120 国12/80 物40/60 化31/60 計199/440
理一B 離散E(最低)

全て前期の判定のみ。

●東大オープン
計算過程を書かなかったところ、物理は20点減。(駿台なら○くれるが…)
と言うわけで、言い訳がましいけど、実質計250台くらいだと思う。(ギリギリ離散C?)
危ない橋は渡りたくないので、本番ではちゃんと過程も書こう…。
と言うわけで、内容は悪くはないと思う。

●東工大オープン
正直、母集団が微妙。そのためか、化学と数学がさっぱりしないくせに、図書カード貰えた。
化学ムズかった。(この点数でも、数学よりは偏差値が高い。)

●東大実戦
まさかのB。しかもギリギリ(Bは198~215)。精神的にちょっとキツイ…。
国語の採点が面白すぎる。 現10/40 古2/20 漢0/20 
未亡人好きという熟女フェチと勘違いしたのが原因。
これが駿台の採点か。ここまでオープンとの差が激しいと一体どうすりゃいいのか分からない…。
いや、しかし漢文はせめて部分点はくれよ。「熟女」以外は合ってるんだからさ…。


総括
英語 ヤベッ…伸びてねーじゃん
数学 俺の実力ってこんなもんなんかなぁ…orz
国語 オープンと実戦、どっちが参考になるんだ?
理科 まぁいいだろ。

結論 勉強頑張ります。

昨日の解答

今までで、最長の長さを誇るTEX画像となりました。sacroidmodoki.png
作成には約3時間を費やしました。こんな阿呆な浪人生はいないでしょう(汗)

立体は、アステロイドが立体的になったような図形。
想像は難くないが、その求積は想定外にキツイものだった。

ちなみに右の立体は、正確には実際の立体ではなく、それに近い形と思われる|x|^(2/3)+|y|^(2/3)+|z|^(2/3)=1(断面がアステロイド)を読者がその形を想像しやすように表示している。

では、↓からどうぞ。

muzukasiikedotoketaashusei.jpg
(Sの立式でミスを発見。赤斜線。以後の計算には影響なし。 12/18)

もうね、何回置換したら気が済むんねんと。
しかし、試験時間とか抜きにしても、ギリギリ高校範囲ですね。
arctan(√2+1)+arctan(√2-1)=π/2 と、arctanが消えてくれたから良かった。

しかし、この積分計算、有用な学習要素が結構入っているような…。
①種々の置換積分 ②部分積分 ③三角関数の次数下げ ④部分分数分解 ⑤三角関数の有理化
なんか、自分の勉強にもなったんじゃなイカ。

なお、積分計算にあたって、I氏とK氏の助言を頂いたことを記しておきます。

自作問題

塾の友人、T君が先日東大型問題を作ってきて、それを複数人で解いたことがあり、
その時に『よし、俺はオリジナル問題作るぞ。』と思い立ちました。

で、立体の求積問題を作ったわけですが、
適当に作ったためか、かなり不適切な問題になったので、
こちらに公開する次第となりました。

muzusugiwarota4.png
【小問削除 12/17】

【解答】
発想は貧弱だが、積分計算には自信のある方は、こちら
豊かな立体把握能力を持ち合わせている方は、こちら

誰か解いて。

東大の過去問をやっていたところ、
どう見ても行列由来っぽい問題があったので、
敢えて行列の問題に言い換えてみました。

iikaesimasita2.png
【言い換えに不備があったので訂正(12/14)】

…ただ、言い換えたのはいいとして、旨味があるのか?
誰か、行列主体で、この問題がすっきり解けたら、教えてください。

トポロジーやばい



全く予備知識無しで、ボーッと眺めていただけだが、妙な恍惚感を感じた。
これが、数学の神秘というものなのだろうか…。大学に行きたくなった。

【補足】

この動画の初めのものを載せておく。次元が理解できるらしい。
(そんなことより、俺はこの動画の映像と音楽が織りなす美しさに酔う。)

数学教育用の動画です。Jos Leys, Étienne Ghys, Aurélien Alvarezさん達が制作しました。
字幕翻訳、ナレーションは東京大学の坪井俊先生です。お疲れ様でした。
Dimensions:mylist/11674226
日本語版公式サイト:http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/dim_jp/
解説:http://www.dimensions-math.org/Dim_CH1_JP.htm
Dimensions by Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez
Creative Commons(BY-NC-ND)
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja

(投稿者コメントより)

む~…

全統記述と11月号学コンの成績を晒します。

第3回全統記述模試
理一C 離散D 東工4前A 東工4後B
京理A 慶理1A 早先物A

詳細な得点を書いても、あまり意味はないので省きました。
取りあえず、国語が83/200と、実に偏差値50台というやばい成績を
取ってしまいました。国語のブレはげしぃ…
国語もう一回やらないとダメだな。
ちなみに、先日のセンタープレでは国語130点台でしたorz


学コン 150/150
やっと満点取れました。2等賞だそうです。



別解書いてみました。

大学への数学 2010年11月号学力コンテスト 第6問
(2)のみに、できるだけ出題者の意図に沿うように改題。

ekaihoudatoomottakedo.png
(誤植部分があったので修正 12/4)


【一部記述削除2011/3/19】
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