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第4問解答 修正 

最後の方の微小面積について、凡ミスをしてしまった。
本来は、これにcosθをかける必要があった。
どちらにせよ、自分には無理難題な積分だが、Maximaは
その答えを教えてくれました。

【以後、色々と修正を加えてましたが、一層のこと問題と解答を全てTEXで作成してみました。
その際、問題文に少々不備があったので、そちらも修正しておきました。】
なんか、教科書みたいな文字の綺麗さ。

daiyonmonzentaitex3.png


(もちろん、積分計算は手計算ではやっていません。)



というわけで、地球を半径6360kmとすれば、この面積は、
約4600万km2となります。


で、これは、どういった形の図形か気になったので、
y=cosθ arcsin(√(sin2θ/(sin2θ+1)))
のグラフを出力してみた。



daiyonkaitou.png

このように、赤道では滑らかに繋がるが、極では、
直角に交わるような図形となっている。
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問四n解答はお手上げ?

【修正後、解決↑上の記事へ】

少々遅くなったが、10月14日に投稿した「地球儀」の第4問の結果をお伝えする。
結局、自分の力量不足かもしれないが、計算不可となった。

まず、そこまで至った道のりを説明する。

第4問

円Cをx2+y2=R2
円Dをx2+(y-(R/2)2)=(R/2)2
と表せるxy平面を設定する。

また、xy平面内で見える地球上の点の位置を、
緯度θ、経度δで表す。ただし、δとxの符号が一致、-π/2≦θ≦π/2、-π≦δ≦π
となるように設定する。

円D上の点(p,q)(0≦p≦R/2,0≦q≦R)を設定する。
p2+(q-(R/2)2)=(R/2)2…①

ここで、p,qとθ,δの関係に着目すると、p=Rcosθsinδ、q=Rsinθであるから、
①にこれを代入して、θとδの関係を表すと、

δ=±arcsin(√(sin2θ/(sin2θ+1))) (ただし、θ≠π/2)
となる。

いま、全図形はy軸に対して対称であるから、x≧0における面積を求めて、
これを二倍すればよい。よって、δ≧0のときについて考える。
δ=arcsin(√(sin2θ/(sin2θ+1)))

θ~θ+dθにおける微小面積は、
R2δdθである。
このとき、θ≠π/2であるから、積分区間にπ/2を含むことはできない。
よって、積分区間の上限の極限をπ/2となるようにすればよい。

よって、求める面積Sは、
S=2R2×lim[n↑π/2] ∫[θ,0,n]arcsin(√(sin2θ/(sin2θ+1)))dθ


となったわけですが、Maximaさんに聞いてみても答えてくれません。
つまり、値が出ません…orz

以下の極限を計算できる方は、お願いします。

arcsintikyuu.png

TEXを初めて使ってみた瞬間でもあった。






あ、後付ですが、カウンタが8000を回りました。
THANK YOU

単語帳 ピーナッツは地味過ぎる


TVKの超電磁砲の説明が少々おかしい件について。


snapshot20091025004927.jpg
後傾姿勢で逃げる上条さん 逃げる気ないだろw

今週のレールガンも、アニメオリジナル+原作でした。

相変わらず、「つまらない」アニメオリジナルですが、木山が美琴に「ツンデレ」発言を
したところだけは評価してもいいでしょう。やっぱり、原作通りに進めて欲しいです、はい。

続きを読む

最後の高校の中間試験

最近は、超電磁砲にはまってます。


これは、本家「とある魔術の禁書目録」のMAD。
非常に完成度が高い逸品である。



超電磁砲はオープニングがすごく良い。
最初の力強く走るシーンとか、曲自体も気に入った。

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買おうかな-、迷うなぁ。

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お知らせ

テンプレートを変えてみました。
前から、テンプレート集に入れていたので、
再度見ていいなと思ったので衣替え。

あと、例の隠し掲示板を復活させました。
(というより、タグに記述することを忘れていただけですが。)
まあ、誰ももはや使わない気がしますが。
(アクセス方法は、前回と全く同様です。)

知らない人は、探して見てください。
(ソース見るなよ?絶対に見るなよ?)

問三解答

【学校の先生に確認してもらったところ、特に以下の記述に問題点はないようです。】

曲面で考えるのは、やはり面倒なので、長方形つまり、
メルカトル図法をそのまま用いて計算します。

φ≧θのときについて考える。
(θ>φのときは、入れ替えればよい。)

【以下、全修正】

緯度tにおけるメルカトル図法上の、縦軸(原点赤道)での位置は、
tantであらわせられる。また、その緯度での実際の距離は、メルカトル図法上の
距離のcostで表せる。

よって、等角航法における角度ωについて、
Rδtanω=R(tanφ-tanθ)
∴ω=arctan{(tanφ-tanθ)/δ}

よって、緯度t~t+dtにおける距離への寄与Ltは、
Lt=R{tan(t+dt)-tant}cost/sinω
ここで、tan(t+dt)-tant=dt/cos2tで表せられる。(tanの導関数より)
よって、
Lt=Rdt/sinωcost

ここで、Ltをt=θ~φまで積分すればよい。

∫Rdt/sinωcost=
R×log[{1+sinφ)(1-sinθ)}/{(1-sinφ)(1+sinθ)}]/[2sin[arctan{(tanφ-tanθ)/δ}]]



上記のようにもの凄い結果となりました。
まだ、確証が得られないので、この計算結果も保留ということで。

音読するだけでも大変(汗)
「にさいんあーくたんじぇんとでるたぶんのたんじぇんとふぁいひくたんじぇんとしーたぶんのあーるろぐいちひくさいんふぁいいちたすさいんしーたぶんのいちたすさいんふぁいいちひくさいんしーた」


前回と同様に、東京~ホノルル間を調べたところ、6390kmとなりました。
大圏ルートよりも、130kmほど長いことになります。

問二解答

D.K氏に聞いたら、即答してくれました。
意外に、簡単な問題でした。

問二

地球の中心を原点Oとして、A地点における経度で、緯度0°を貫く方向にx軸を、緯度0°を貫きx軸と右ネジの方向に直交する方向にy軸、地軸の方向にz軸を設定する。

このとき、
点A(Rcosθ,0,Rsinθ)
点B(Rcosφcosδ,Rcosφsinδ,Rsinφ)
となる。

よって、線分ABの長さの二乗は、
AB2=2R2{1-(cosδcosθcosφ+sinθsinφ)}
となる。

余弦定理より、
cos∠AOB=1-AB2/(2R2)であるから、
∠AOB=arccos(cosδcosθcosφ+sinθsinφ)


以上より、大圏航路ABは、
R×∠AOB=R×arccos(cosδcosθcosφ+sinθsinφ)





本当に、これが正解なのかを確認してみます。
たとえば、東京~ホノルル間の距離を調べてみます。

以下、角度は小数点四捨五入します。
東京(E139,N35)
ホノルル(W158,N21)
のようですから、東京をA地点、ホノルルをB地点として、

δ=63°
θ=35°
φ=21°
R=6360km
として、代入します。

東京~ホノルル=6360km×arccos(cos63°cos35°cos21°+sin35°sin21°)
=6266km

実際、これくらいの値みたいなので、計算は合っています。
しかし、偶然にも東京~ホノルル間は、地球半径と同じくらいなんですね。

問一解答

前回の解答

問一
経度差Δωで、緯度xにおける円弧の長さは、
2πRcosx×Δω/(2π)=δRcosxである。
また、緯度差Δxにおける円弧の長さは、RΔxである。

よって、経度差dω、緯度x~x+dxにおける曲面は、
dxとdωが微小ゆえ、平面(長方形)と近似できるため、
dωRcosx×Rdx=R2cosx dωdx

あとは、上について、xをθ~φ、続けてωを0~δまで積分すればいい。
∫[ω=0、δ]∫[x=θ,φ]R2cosx dω dx

=∫[ω=0、δ]R2(sinφ-sinθ)dω=δR2(sinφ-sinθ)

地球儀

適当に問題を作りました。
解くかもしれないし、解かないかもしれません。(そもそも解けないかもしれません)
多分、後になるほど難易度が高いと思う。

取り決め
緯度は、北緯が+、南緯が-
経度は、グリニッジを起点として東回りに360°までの角度とします。

問一
経度差δ、緯度θ~φ(-90°≦θ<φ≦90°)における地球の表面積を求めよ。ただし、地球は半径Rの球であるとする。



問二
地球上の経度差δ(0≦δ≦π)の二点、点A(緯度θ)と点B(緯度φ)の大圏コースにおける距離を求めよ。大圏コースとは、地球上の二地点間を移動する際、最も距離が短くなるようなコースである。ただし、地球は半径Rの球であるとする。



問三
問二において、二地点間を等角航路で進んだ場合の距離を求めよ。等角航路とは、経線との角度が常に一定となるようなコースである。つまりメルカトル図法において、二地点を直線で結んだときのコースである。



問四
地球が半径rの円Cとして見えるような遠方から観察したとする。このとき、Cに内接する半径r/2の円Dの範囲で見える地球の表面積を答えよ。ただし、地球は半径Rの球であるとする。


Fractal

有名な話では、「海岸線の長さは測定できない」というものがある。
海岸線は、拡大しても、拡大しても、なおも複雑な線を保つので、
厳密に正確に測ろうとすると、無限大に発散してしまうのだ。

こういった、拡大しても拡大しても、複雑な図形のことを
(統計的な)フラクタル図形と呼ぶ。雲の形や、木の枝分かれ、
煙草の煙の運動もすべてフラクタルである。


こうした超複雑な形を数式化することは、20世紀の後半まで、
全然発展していなかったのだが、マンデルブロによって、こうした
超複雑な形も、数学的に考察できるようになった。


取りあえず、数学的な考察は、高校生の俺には無理なので、
簡単なフラクタル次元の出し方だけ書く。


【コッホ曲線】
かなり簡単なフラクタル図形

線分を書きます。
三分の一ずつに分けます。
真ん中の線分を消します。
元の線分の三分の一の線分を
二本使って、消した部分を埋めます。
これを繰り返します。


…とやると、デコボコの図形が出来るはずです。
その一部分を拡大すると、同じような図形がまたまた見えてきます。

こういった、「拡大しても拡大しても同じ形」となるようなフラクタルを、
「自己相似図形」と呼ぶ。文字通り、自分の形と相似的に等しいミニチュアが
また自分を構成しているというものである。


こういった自己相似図形の場合は、簡単にフラクタル次元を計算できる。

自分自身がサイズ 1/n のミニチュア m 個から成り立っているとき、
D = lognm
である。
Wikipediaより


(ここでいう1/nミニチュアとは、一次元的な長さにおける1/nである。)

つまり、コッホ曲線の場合は、4個の1/3ミニチュアで構成されるため、
d = log34
となり、一次元より少し大きい程度となる。

面白いのは、フラクタル次元は、現実の次元にもちゃんと適用できる点である。
たとえば、二次元の図形を例に考えてみよう。

正三角形は、1/2ミニチュア4個で構成されている。
(トライフォースのマークみたいな感じ。)
つまり、d = log24 = 2


このように、フラクタル次元を用いることで、「その複雑さを現実の次元と比べられる」
という面白い性質を持っていることが分かるだろう。

コッホ曲線は、複雑な線であるから、一次元よりは次元が大きいだろうが、
二次元を埋め尽くすほどの複雑さでもないから、1<log34<2は
納得の行く数値であるだろう。


また、整数でないフラクタル次元を持つ図形は、特殊な性質を持つ。
たとえば、コッホ曲線の長さは無限大であったりする。
無限大ではあるが、二次元を埋め尽くす無限大でもない。


「シェルピンスキーのギャスケット」という有名な図形も、その例である。(ググレ)
二次元の正三角形を元に作られる図形であるが、d=1.5程度である。
つまり、二次元よりは次元が小さい。

その証拠に、このスカスカなスポンジ状の図形の面積は0である。


こうした簡単な例から、更にフラクタル次元は自然にも応用される。

河川の複雑さを、フラクタル次元に表すと分かりやすい。
自然現象が作った複雑な河川はd=約1.5
人工的に作られた直線的な河川はd=約1
大都市の地下に縦横無尽に張り巡らされた水道はd=約2
結構、直感的に納得できるであろう。

こうしたように、複雑さはフラクタル次元で表せられるので、
CGなどで山の起伏を自動生成するさいに、これを用いたりと実際に応用されている。


従来の数学的な厳密さでは表現できないような、この「フラクタル」は
まだ発展段階の分野であるから、将来が期待できる分野なのだそうだ。

続きを読む

無視すんなやゴラぁぁぁ!!

前回の計算の続き

対称性を利用して、
∫ydxについて、
a=β~sqrt(3)/2までの積分から、
a=β~0までの積分を引きます。

よって、結局
a=0~sqrt(3)/2までの積分となります。

dx=diff(t-2*t/sqrt(4*t^2+1),t)×dtですから、
この元で置換積分すれば良くて、

結局、

integrate(%o2*%o3,t,0,sqrt(3)/2)=
WS000006.jpg

これを二倍して答えは、
WS000007.jpg

となります。

メモ用紙

曲線C:y=x2の点A(t,t2)における接線の法線上の点Pの軌跡を考える。ただし、PA=1、点PはCの上部に位置するとする。
aが実数全体を動くとき、点Pが作る軌跡が囲む図形の面積を求めよ。


以下、maxima用の記述です。
*…×(積)
sqrt(x)…√(x)
x^a…xa
diff(f(t),t)…f(t)をtで微分
%…直前に求まった関数
solve(f(t)=k,t)…f(t)=kをtについて解く



点P:(x,y):=(t-2*t/sqrt(4*t^2+1),t^2+1/sqrt(4*t^2+1))

plot2d([parametric,t-2*t/sqrt(4*t^2+1),t^2+1/sqrt(4*t^2+1),[t,-2,2]])
WS000000.jpg
tが、-2~2までを動くときの点Pの軌跡。
すぼんだ三角形上の図形の面積を求める。

diff(t-2*t/sqrt(4*t^2+1),t)
WS000004.jpg


solve(%=0,t)
WS000001.jpg

diff(t^2+1/sqrt(4*t^2+1),t)
WS000002.jpg

solve(%=0,t)
WS000003.jpg

また交点は、(0,5/4)です。(t=±sqrt(3)/2のとき)
取りあえず、sqrt(2^(2/3)-1)/2=βとでもしておきます。

対称性を利用して、

…続く?
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