スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

紛らわしい英語

英語は、紛らわしい単語が多々ある。
例えば・・・

valuable
invaluable

の意味。
ここでの、in-とは、反対の接頭辞であるのだが…

valuableが「価値のある」という意味だから、
invaluableは、「価値のない」という意味だ。

…とはならない。

元々の原義を考えてみると分かる。
接尾辞であるableは、「出来る」という意味であるから、
この単語における"value"は、「値を付ける」という動詞である。

ここから、原義から意味が派生して、

valuable…値を付けられる→価値のある
invaluable…値を付けられない→それほど貴重な

という経路を辿っていると推測される。
…結局、だいたい同じ意味。


では、次の例はどうだろう。

flamable
inflamable

先ほどの考えを使えば…

flamableが、燃えることが出来る→可燃性と派生したと考えれば、
inflamableは、燃えることが出来ない→不燃性となる!

…とは、ならないのだw

今度のin-は、…にする、という接頭辞なのである。
つまり、

flamable=flame+able (自動詞+可能)→燃えることが出来る→可燃性
inflamable=inflame+able (他動詞+可能)→燃やすことが出来る→可燃性

と、同じ意味になるのだ。なんじゃそりゃw
スポンサーサイト

【追記】虚数乗

前々回の記事で、xi+yiのグラフを掲載したが、
あれはやはりMaximaのバグであった。
というのも、xi+yiはほぼ複素数となるのだが、
Maximaはその実部だけをグラフに出していたみたい。

オイラーの公式より、
xi+yi=cos(logx)+cos(logy)+i{sin(logx)+sin(logy)}
であるから、まずxとyの定義域は0より大であることが必要。
また、sin(logx)+sin(logy)≠0のときは、複素数となる。
(さらに、調べたところ、logの定義域は複素数に拡張できる…。)


確認したところ、Maximaがバグで表示したx>0、y>0におけるグラフと、
cos(logx)+cos(logy)のグラフが一致した。

虚数乗

前の記事でMaximaに虚数乗を用いた関数のグラフを
書かせたことがきっかけなのですが、虚数乗とは何かを書きたいと思います。


まず、それにはテイラー・マクロリン展開という考えが必要だが、
考え方は何も難しいものではないので、高校生なら読んでほしい。

例えば、log101.01の値が知りたいとするならば、
f(x)=log10xを微分して、x=1における接線を調べて、
その接線の方程式にx=1.01を代入すれば、かなり良い値が出る。


この場合、f(x)を1回微分することで、x=1の近傍における
近似が得られるので、「一次近似」と呼ばれる。
つまり、x=1あたりでは、もとの関数f(x)と、その接線は
だいたい同じ関数と見なせるというわけだ。

つまり、一次近似は一般化すると以下の様になる。

y=f(x)のx=a近傍における近似を作るとすれば、
x=aにおける接線、
y=f(a)+(x-a)df(x)/dt
が良い近似となる。


しかし、これでも精度が足りないとしよう。
曲線と直線では、接点付近だとしてもやはり誤差は結構ある。
ならば、近似する側の関数が、もとの関数に近くなるように、
曲がっていけば、良い近似になるはずである。

つまり、一次近似における「直線」である接線を、
「曲線」である接線にパワーアップさせることで、更にもとの関数に
近いようにできるのである。

証明を、大幅に略すとして、f(x)をn回まで微分して、作り出した
近似を、「n次近似」と呼び、以下のようになる。
y=f(a)+(x-a)df(x)/dt+(x-a)2/2!×d2f(a)/dx2+ ・・・ +(x-a)n/n!×dnf(a)/dxn
(証明は、高校生でも理解できるので、興味ある人は、見たらどうでしょう。)

で、n回微分しても、本物のf(x)とは、わずかに誤差があり、これをラグランジュの余剰項という。(略)
f(x)によるが、このラグランジュの余剰項がn→∞で、0に収束すると分かったなら、

f(x)=(n→∞) f(a)+(x-a)df(x)/dt+(x-a)2/2!×d2f(a)/dx2+ ・・・ +(x-a)n/n!×dnf(a)/dxn
と出来るのである。これが、テイラー展開と言われるもの。
で、a=0としたものが、マクローリン展開と言われるものです。

つまり、ラグランジュの余剰項が収束するような、関数は全て、
多項式(厳密には冪級数)で、表せるのである。
exも、sinxも、logxも全て多項式で表せる。(ただし、無限に続く)
検索すれば、有名なものは載ってるので、見ると良い。

(先ほど、x=a付近と言ったけれども、無限に近似していくと、
その関数全域について、近似されていくので、マクローリン展開でも、
普通にx=0でない範囲についても、ほぼ近似される。)

大学入試問題で、1/n!とかが入った多項式が出ることがあるが、
大抵それは何らかの関数のn次近似だったりする。exのn次近似が特に有名。



次に、複素数乗の微分については、

xc (cは複素数) の微分を考える。
zc=ec log(z) と変形できるから、
d{zc}/dz = ec log(z) d{clog(z)}/dz
=c/z ec log(z)
= (c/z) zc
= c zc-1

と意外にも、結果は実数乗の微分とほとんど変わらない。


さて、この考え方を用いると、オイラーの公式が導けられる。
e=cosθ+i sinθ
(右辺と左辺のマクロリン展開が一致することで証明される。)

少々、この公式の幾何学的な見方について…
ここで、思い浮かべてもらいたいのが、ガウス平面、複素平面である。
横軸に実数軸、縦軸に虚数軸を張った平面のことである。

オイラーの公式の右辺をよく見る。θが、実数軸からの角度だとすれば、
実数方向にcosθ、虚数方向にsinθ移動した点の集合は何か?
そう、これはガウス平面における半径1の円の集合になるのだ。

つまり、eの座標は、θを動かすことで、
ガウス平面上の半径1の円をぐるぐる回るような格好になる。
2πで一周して、同じ値に戻るのだから、ei 2π=1である。



この公式が分かれば、あとは簡単だ。

たとえば、2iが知りたいとすれば、

ei log2=cos log2+i sin log2
であるから、2をeのlog2乗と変換すれば、

2i=ei log2=(cos log2+i sin log2)
となります。【9/27訂正】


ちなみに、θ=πとしたとき、オイラーの公式は…
e=cosπ+i sinπ
e=-1

e+1=0

最も美しい等式として有名な、オイラーの等式が出てきます。
なぜ、ネイピア数、虚数、円周率、1、0の関係がここまで美しいんでしょうか。
個人的には、かなり感動します。

続きを読む

実戦模試結果

昨日あたり、PCにインストールした、フリー数式処理ソフトMaximaだが、
色々と面白い。何が、面白いかって、数式の計算うんぬんよりも、
グラフが面白い。

たとえば、
z=xi+yi (iは虚数)
といった、虚数乗の二変数関数のグラフも簡単に、図示してくれる。

こちら側が入力すべきことは、
plot3d(x^(%i)+y^(%i),[x,-1,1],[y,-1,1]);
だけである。

suusiki.jpg

第一象限は丸みを帯びた坂、
第二、第四象限は方向を持った坂、
第三象限は平面的で、
象限の境目が急な谷間

みたいな、奇妙なグラフが出来ました。

…つーか、これは本当なのか?虚数乗でも、実数になるのか?w
Maximaのバグかもしれない。

続きを読む

白洲次郎、「従順ならざる唯一の日本人」

先日自分で作って、他人任せに解答を待っていたけれど、
やってみたら、意外と解けたので、ここに載せておく。

問題
三人の中でじゃんけんが一番強い人を決める。
その方法として三人は、以下のどちらの方法を取るのが、
じゃんけんの回数が少なくいと期待できるだろうか。

A.三人で一緒にじゃんけんをする。一人だけ負けた場合は、
その人を外して、残りの二人でじゃんけんを続行する。

B.まず二人でじゃんけんをして、勝った人が残りの一人とじゃんけんする。



解答

まず、じゃんけんにおいて、3→3、3→2、3→1、2→2、2→1人となる確率を求める。

まず三人でじゃんけんする場合、ある一人が、一人勝ちする確率を考える。
皆の手の出し方は、27通りあり、一人勝ちする場合、ほかの二人の手は
同じでなければならず、それは三通りしかない。それに対応する、勝つ方の
手の出し方は、ぞれぞれ一通りづつしかないので、結局1/9
 
それぞれの人が一人勝ちする事象は、互いの排反ゆえ、誰かが一人勝ちする
確率は3/9=1/3である。

全く同様に、誰かが一人負けする確率も、1/3である。
誰も一人勝ちも一人負けしない事象は、あいこにほかならないから、
あいこになる確率も1/3である。

次に、二人でじゃんけんする場合、ある一人が、勝つ確率を考える。
皆の手の出し方は、9通りあり、ある一人が勝つような手の出し方は、
3通りしかないので、1/3である。

それぞれが勝つ事象は排反ゆえ、勝負が決まる確率は2/3
あいことなる確率は1/3である。


以上よりまとめて、じゃんけんによる人数の推移の確率は以下の通り。
3→3、3→2、3→1、2→2は全て1/3
2→1の場合のみ、2/3

では、それぞれの方法におけるじゃんけんの回数の期待値を求める。


A について
x回じゃんけんする確率P(x)を求める。

(i)最後に、3→1で決まる場合
3→3が連続でx-1回、最後に1/3ゆえ、
(1/3)k

(ii)最後に、2→1で決まる場合
3→2、2→2が合計x-1回、最後に2→1である。
3→2となる回数は、1~x-1回であり、必ず3→2の後にしか、
2→2となる事象は起こらないため、3→2、2→2のそれぞれの回数は、
x-1通りあることになる。3→2、2→2の確率は同じゆえ
(x-1)×(1/3)x-1×2/3

(i)、(ii)より、P(x)=(2x-1)/3x
以上より、Aの回数の期待値E3について、
E3=Σ[x=1,∞]x(2x-1)/3x


B について
x回じゃんけんする確率Q(x)を求める。

最初の二人のじゃんけんで、2→2となる回数がm回の時、
次の二人のじゃんけんで、2→2となる回数は、x-2-pである。
(2→2がm回、2→1となり交代。2→2が(x-2-p)回、2→1で勝負が決まる。)

ここで、mは0~x-2までのx-1通りの数値を取るが、いずれの場合にせよ
確率は(1/3)x-1(2/3)2で変わらないのだから、単純に
この確率をx-1倍すればよい。つまり、
Q(x)=(x-1)(1/3)x-1(2/3)2=4(x-1)/3x

以上より、Bの回数の期待値E2について、
E2=Σ[x=1,∞]x(x-1)4/3x



これより、E3とE2の大小を評価する。
x≧2においえ、xP(x)<xQ(x)であり、
x=1のとき、1P(1)=1/3、1Q(1)=0であるから、
仮に、x≧2において、ある自然数kに対して、Σ[x=2,k]x(Q(x)-P(x))>1/3
が示されたとしたら、E3<E2となる。

x(Q(x)-P(x))=f(x)とおく。

f(2)=1/9
f(3)=1/3

ゆえに、Σ[x=2,3]x(Q(x)-P(x))>1/3
であるから、

E3<E2である。
つまり、三人で一斉にじゃんけんをした方が、じゃんけんをする
回数は少ないと期待できる。

Q.E.D



【追記 24日】
数式処理ソフトMaximaで、E3とE2が求まった。

E3=2.25
E2=3

平均すると、だいたいAは2回、Bは3回じゃんけんが必要らしい。


数学オタクのために、第n部分和も載せておく。
こんなΣ計算は、俺はやる気が全く起きないので、パスw

Σ[x=1,n]x(2x-1)/3x=9/4-(4n2+10n+9)/(4×3n)

Σ[x=1,n]x(x-1)4/3x=3-(2n2+4n+3)/3n


続きを読む

実はすごいペリカン

アクセスが7000超えたそうで。
今後は、記事の投稿頻度が減りそうだけど、
すご~く暇だったら見てください(笑)




ペリカンは、鳩も食えるそうだ。
さすがに、これには驚いて爆笑してしまった。
(必死に脱出しようとする鳩が不憫ながらも、笑ってしまう。)






ちなみに、寝ている犬も食おうとしたようだが、
さすがにこれは無理だったようだ。


続きを読む

進化論

ccdbdbcb.jpg
2005年 34ヵ国における進化論の支持・不支持について

アメリカ人の70%が、進化論の懐疑派らしい。

一方で、キリスト教を国教としているイギリスは、
70%がむしろ進化論を支持している。

アメリカって、宗教色が強かったか?
それとも、ただの阿呆なのか。

確率とは?

こんな感じの問題があった。

ある学校に進学か就職か進路で悩む一人の生徒がいた。
あろうことかこの生徒、進路指導の教師が止めるのも聞かず占いで自分の進路を決めようと言い出したのである。
「手前で決めろ」の一喝とともにケリの一つも入れた方が本人のためだ、という人は多いだろうが、昨今の公立学校とあってそうは行かない。本人が占いで決めると堅い意思を示しているのなら仕方がない。
さて、ここで、この生徒が占ってもらうことのできる占い師が3人しかいなかったとしよう。問題は進学か就職かである。

Aの占い師:的中率70% 見料30,000円

Bの占い師:的中率50% 見料20,000円 

Cの占い師:的中率30% 見料15,000円

どの占い師に占ってもらうのが適切であると言えるのだろうか?




一般的な、答えは(白文字反転)
Cが適切。Cの占いの逆が的中する確率は、70%だからである。
である。


しかし、本当にその議論は正しいのか?
たとえば、占い師でもない只の素人が適当にどちらかを答えるだけでも
この解答の考え方からすれば、的中率は50%である。
それならば、Cはわざと好ましくないほうを言う、「悪い」占い師とでもいうのだろうか?


占い師とは、普段は二択ではなく、何でも答えようがあるような質問に
対して、答え(占い)を提示する人であるはずだ。とすれば、この的中率とは
答え方が無数にあるような占いにおける「的中率」であると考えるのが
遙かに自然である。

こうした場合は、普通の占いに対して、適当に答えるだけでは、
的中率はほぼ0%に等しく、確率が高いほど、占い師の能力が高いと言える。
つまり、的中率が低いほど、占い師の答えの乱雑さが増大するのである。


そう考えた場合は、二択の問いに対して、「的中率」がそのまま適用できるとは
思えない。金額を無視すれば、Aが一番適切な占い師だと言える。

Cが、七割の確率で、逆の答えを言うとはいえないということだ。

続きを読む

iPod

overview_hero2_20090909.jpg
iPod/iTunes

Appleは、新型iPod nanoと新型iPod Touchを発表した。

新型nanoの最大の特徴は、カメラを内臓したこと。これで、動画・写真が取れるようだ。
また、アルミボディーが、光沢のある酸化被膜ボディーとなって見た目的にも、初代の
nanoのように、美しくなった。
ボタンや、画面の配置は四代目と同様だが、若干画面も大きくなったようだ。

一方、Touchも、見た目は同様にあまり違いが見られないが、処理速度が向上している。
これは、おそらく先に発売された高速型iPhoneである3GSの、技術がそのまま利用されて
いるのであろう。
ただし、この新仕様は32、64GBの大容量モデルのみであり、従来からあった
8GBモデルは、ただ値下げされたということに注意したい。


しかし、見ていて思ったのは、新型の特徴の説明には、どれにも
「音質」といった、音楽再生機たるDAP本来の機能の性能については、
何も謳ってないところだ。探しても、たぶんそういった記述はないように思える。
nanoの小型化、Touchの3Dゲーム、Classicの大容量、これらが
それぞれの特徴であり、多分それを謳うだけで十分売れるだからだろう。


一方で、DAP市場の覇権を握られた他企業は、「音質」面を謳うものも少なくない。
特に、iPodと同レベルの価格帯でDAPを売ってる場合は、そこで優位に立たなければ
ますます売れ行きが悪くなるだろう。

たとえば、Sonyのウォークマンは、最上位モデルである「Xシリーズ」は、フルデジタル
アンプを搭載したことによって、「ハイエンドオーディオに迫る音質」と謳っている。

KenwoodのHD60GD9も同様に、デジタルアンプを重要視し、「目指したのは、頂点の音。」
と言っているし、「*当社の音質の最高責任者である音質マイスターが、最高の音質を再現するために、製品の設計から部品の選定など、細部に至るまでこだわった製品群を「音質マイスターエディション(Sound Meister Edition)」と称します。」
と、相当音質面に神経を尖らせていることが分かる。

Creativeの「ZEN」シリーズも、DAP界では結構有名で、やはり高音質を謳っている。


iPodの勢力に負けてしまったところもある。

PanasonicのDAPであった、「D-snap」は販売が終了し、さらに笑えることに、
同社のミニコンポである「D-dock」の、ドック部がiPod仕様になっているのだ。
もともと、このドック部分は同社のD-snapを接続するものであったはずだが…(笑)



もしAppleが、高音質を謳うiPodに着手したとしたら、一体どうなるのだろう。
まあ、往年のウォークマンファンなどは、いずれにしてもSony側につくだろうけど…

じゃんけん

最近は、知恵袋の回答をして、楽しんでいる。
(その暇を、勉強に使えと思うけど。)

その中で、ある人が、
「三人でじゃんけんを1回するとすれば、ある特定の人が負ける確率は?」(一部改作)
と質問してきた。

そこで、僕は次のように回答した。

Aがグーを出したときに、Aが負けるパターンは、
BとCが、(パー、パー)(グー、パー)(パー、グー)の三通りのうちのいずれかの場合。
Aがチョキ、パーの時も同様にして、Aが負けるパターンは、3×3=9通り。

A、B、Cの手の出し方は、3×3×3=27通りだから、
Aが負ける確率は、9/27=1/3



あれ?
二人じゃなくて、三人なのに、負ける確率は1/3だと?
二人より、人数が多いのに、負ける確率は1/3だったので、意外だった。


実際に、三人でなく、n人として計算すると…
Aが、1回のじゃんけんで負ける確率Pnは、
Pn={2(n-1)-1}/3(n-1) (計算略)

となって、偶然n=2とn=3のときは、Pnが同じ値1/3
になっただけだということが分かった。
当然n=3以降は、Pnは単調増加する。


では、以上を踏まえて、問題。

問題

三人の中で、じゃんけんが一番強い人を決める。
その方法は、以下の二通りのみであるとする。

A.三人が一緒にじゃんけんをして、勝った人が優勝とする。
(一人だけ負けた場合は、残りの二人で勝負を続ける)

B.まず二人がじゃんけんをする。そこで、勝った人が残りの一人と
じゃんけんをして、勝った方が優勝とする。

この方法のどちらが、じゃんけんの回数が少なくて済む可能性が高いか。
ただし三人は、それぞれの手をランダムに1/3の確率で出すとする。



ランダムなら、三人の中で、優劣はないじゃん
という突っ込みはなしで。
解いた人は、コメントに書いてもらえるといいなぁ。

【補足】表記の仕方

An+2 … A^(n+2)
1+y分の2+x … (2+x)/(1+y)
インテグラルaからbのf(x)dx … ∫[a,b]f(x)dx
シグマk=aからbの、f(k) … Σ[k=a,b]f(k)
添え字B3 … B[3]
etc.

ルシャトリエ?

化学には、「ルシャトリエの原理」という法則がある。

可逆反応が平衡状態にあるとき、外部から平衡を支配する条件(温度、圧力、濃度)を変えると、その影響を緩和する方向へ平衡が移動し、新しい平衡状態になる。


自分としては、何か納得がいかなかった。
そういう原理であって、本当に導けないのか?

そこで、「化学の新研究」のSCIENCEBOXに、
「ルシャトリエの原理の適用とその限界」という面白いコラムがあった。(p.224)

それによれば、例えば600K、5.0×107Paにおける窒素、水素、アンモニア
における平衡については、平衡定数から理論的に導かれる平衡の移動と、ルシャトリエの
原理によって導かれる平衡の移動が真逆になるケースがある。(濃度を変えたとき)
そして温度・圧力の変化にたいしてのみ、ルシャトリエの原理は常に成立する。


…ということだけど、ルシャトリエの原理より、平衡定数のほうを尊重している。
そりゃあ、平衡定数は、理論的に求められたモノだから、間違ってるはずないし。(恐らく)


じゃあ平衡定数の考えから、ルシャトリエの原理は導けないのか?
ということで、例として温度一定下の圧力変化について考察する。




ここにA、B、C、Dという元素がa,b,c,dを係数として、
aA+bB ←→ cC+dD …①という平衡状態にあったとしよう。

ここにおける平衡定数をKaとおくと、
Ka=([C]c[D]d)/([A]a[B]b)
となる。
ここで、[A]といった各濃度値は、この平衡状態における定数とする。

ここで、各気体については、気体の状態方程式PV=nRTが成り立つと仮定し、
mol濃度をCとおけば、C=P/RTとなる。温度一定では、RTは定数であるから
mol濃度は、圧力に比例する。

よって、この反応系の圧力をk倍したとすれば、
各気体の濃度もk倍になるはずである。
つまり、各気体濃度は[A]→k[A]と変化する。

圧力をk倍にした直後について、各の値を平衡定数の式に代入した定数をK'とする。
(ここで、K'とは平衡定数ではなく、ただの定数であることに注意する。)

K'={(k[C])c(k[D])d)}/{(k[A])a(k[B])b)}

=Ka × kc+d/ka+b

=Ka × k(c+d)-(a+b) …②

ここで、k(c+d)-(a+b)の値によって、平衡移動は以下のように場合分けされる。
Ⅰk(c+d)-(a+b)>1 のとき 平衡が左側に移動
Ⅱk(c+d)-(a+b)=1 のとき 変化なし
Ⅲk(c+d)-(a+b)<1 のとき 平衡が右側に移動




例として、今回は正反応が、mol数が増加するような反応だとしよう。
つまり、①より a+b < c+d である。
これは、正反応が全体の圧力が大きくなるような反応であることと同値。

そして、kを1より大きい数値、つまり圧力を増大するような
操作を、この反応系に作用させたとする。

すると、②において、 k(c+d)-(a+b)>1 となるから、
K'>K つまり、「平衡が左側に移動」するということになる。


…といったように、少なくとも、温度一定化の圧力変化に対する
平衡の移動については、ルシャトリエの原理を用いなくても、平衡定数の
概念で一般的に十分説明できるように思われる。




と、所詮高校生が思った次第であります。
まあ、恐らくもっと複雑なお話なのでしょう(完)

【ただの独り言】 夏休み早かったなぁ。

もうすぐ、夏休みが終わるかと思うと、早いなぁと感じる。

ここで、「ゲームをしてると時間が早く過ぎると感じる法則」
つまり何かに夢中だと時間が早く過ぎると感じるという
理論をここに適用すれば、
「夏休み中は、何かに夢中だった。」
と結論付けたくなるが、これは話が別である。

なぜならば、「早く感じる」というのが、前の必要条件であるからだ。
つまり、夏休みが過ぎるのが早く感じることについては、別の理由がある
可能性を否定できない。

自分としては、「勉強に夢中だった」ではなく、ただ単に
「残り時間が少なくなって、焦ってる」といった理由である。
まあ、焦っている割には、あまり勉強してないのが阿呆みたいだけど(笑)

つーか、いつまでブログやってるんだ、俺




今度、もうちょっとマシな記事を考えてきます。

マーク模試は黒歴史

母者「模試の成績返ってきたわよ~」


ギャアァァァァ━━━━━━(|||゚Д゚)━━━━━━!!!!!!



見たくないなぁ。






…チラッ



………



ギャアァァァァ━━━━━━(|||゚Д゚)━━━━━━!!!!!!


fin

続きを読む

プロフィール

SHUN

Author:SHUN

アクセス数
最近の記事とコメント
カレンダー
08 | 2009/09 | 10
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 - - -
月別アーカイブ
カテゴリ
Vocaloid Ranking Watcher
全記事表示リンク

全ての記事を表示する

Evangelion
検索フォーム
リンク
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

個人的 神曲
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。